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APPLICATION AUX ORBITES.
et cette quadrature s’exécute sans peine. Il vient, en effet,
![{\displaystyle \Lambda =\delta +\beta \alpha \cos(1+\mu \mathrm {A} )\lambda +\gamma \alpha \sin(1+\mu \mathrm {A} )\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d351f045b5da46fe5e64dd80fa88458e322ebc)
étant une nouvelle constante d’intégration.
Une solution particulière remarquable correspond au cas où
et
sont nuls. Il vient alors
(3)
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d’où
![{\displaystyle \Lambda =\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf576e3be5294052066afe0be7f928d7e739908a)
Si l’on veut continuer la comparaison avec le Problème des trois
Corps, on pourra dire que cette solution particulière (3) est l’analogue
des solutions périodiques de la première sorte définies au
Chapitre III.
Les équations (2) nous donnent
![{\displaystyle (x-\alpha \cos \lambda )^{2}+(y+\alpha \sin \lambda )^{2}=\beta ^{2}-\gamma ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac99994377c74778e2da8f7f9f4b5070101345c)
Si
et
sont regardées pour un instant comme les coordonnées
d’un point dans un plan, c’est là l’équation d’un cercle qui a pour
centre le point
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha \cos \lambda ,&y&=-\alpha \sin \lambda ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562f12ddc2354aacc70cf25f8aa9b3b46d5bf74b)
qui correspondrait à la solution périodique (3). Ce point est voisin
de l’origine, parce que
et, par conséquent,
sont petits ; mais il
diffère néanmoins de l’origine, et, si
et
sont petits également,
le rayon du cercle est petit et l’origine peut devenir très excentrique
par rapport à ce cercle ; elle peut même être en dehors de
ce cercle.
Si nous passons aux coordonnées polaires
![{\displaystyle {\sqrt {2\Omega }}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8152a9a894c43800b7d3e4cf0e8891340a110799)
et
![{\displaystyle \quad \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481ce4c479db06aefe98611611afcfb8cec2cea6)
l’équation du cercle devient
![{\displaystyle 2\Omega -2\alpha {\sqrt {2\Omega }}\cos(\omega +\lambda )=\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2982f71caa7aca1e33f26fccdb5c8eea6867a80)
Comparons cette équation avec celle-ci, que l’on peut déduire
aisément de l’équation (2) du no 142
![{\displaystyle \mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} -\Lambda =\mathrm {V} (1+\mu \,\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5249592d4c35b3bfa09bc1b49114366392bb1382)