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CHAPITRE XII.
La valeur moyenne de
est par définition
quand
on y remplacera
par
cette valeur moyenne ne changera
pas et s’écrira
Cela tient à ce que
![{\displaystyle {\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda _{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda '_{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{dv_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e717c3afe94865b9eb9869e12d3f0a17b20b9c7)
se réduisent respectivement à
![{\displaystyle \Lambda _{0},\quad \Lambda '_{0},\quad 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd954be9aa4ed39b51ac4933063017e0893c3d7)
et ne dépendent pas de
et de
si, au contraire, ces dérivées
dépendaient périodiquement de
et
la valeur moyenne pourrait
être modifiée par la substitution.
D’autre part, la valeur moyenne
![{\displaystyle \left[\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0)\right]=\varepsilon ^{2}\mathrm {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25dc9a8717d4b7e33706ae40500ba307b1f15d39)
ne dépend ni des
ni des
puisque
n’en dépendait pas
lui-même ; elle est d’ailleurs développable suivant les puissances
positives et croissantes de ![{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cb51b16bd043aa3ad00f662f8ba6549cdde83)
De même,
est développable suivant les puissances
positives et croissantes de
parce que le développement primitif
de
suivant les puissances des
(contrairement à ce qui
se passait pour celui de
) ne contenait pas de termes de degré
impair et en particulier de termes du premier degré. Il vient donc
![{\displaystyle \varepsilon ^{2}\mathrm {R} ^{\star }=\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {R} (\Sigma _{0})+\varepsilon ^{2}\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a1450cd61b2f34614064ea24b4b848ebbb384a)
de sorte que
est développable suivant les puissances positives
et croissantes de ![{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cb51b16bd043aa3ad00f662f8ba6549cdde83)
Si donc nous développons
suivant les puissances croissantes
de
ainsi qu’il suit
![{\displaystyle s=s_{0}+\mu s_{1}+\mu ^{2}s_{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1635d49582c5c4b51f24238562f874726d95dd)
nous aurons, pour déterminer les
des formules de récurrence
que les méthodes des Chapitres précédents nous ont fournies.
Comme
est une fonction périodique de
et de
j’écrirai
![{\displaystyle s_{p}=s'_{p}+s''_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae5fc8ffb24d82c15cfe281232fdf07972e435a)