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CHAPITRE XII.

puisse être développé suivant les puissances de $\mu .$ Or ce développement est possible, pourvu que

$\mu ^{2}<4\mathrm {B} ^{2}|\mathrm {V} |.$

et il sera très convergent si $\mu ^{2}$ est très petit, non seulement d’une manière absolue, mais encore par rapport à $\mathrm {V} .$

Si nous voulons poursuivre la comparaison avec le Problème des trois Corps, nous verrons que $\mathrm {V}$ représente une quantité analogue à celle que nous avons désignée par $\Omega _{i}$ dans le Chapitre précédent ; regardons-la donc comme de l’ordre du carré des excentricités.

Si $\mu$ et $\mathrm {V}$ sont tous deux très petits, on pourrait se proposer de développer $\mathrm {S}$ suivant les puissances de $\mu$ et de $\mathrm {V} .$ Un pareil développement est impossible, car le radical

${\sqrt {4\mathrm {B} ^{2}+{\frac {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi }{\mathrm {V} }}}}$

est seulement développable suivant les puissances de $\mu$ (parce que $\mathrm {B}$ dépend de $\mu$) et de

${\frac {\mu ^{2}}{\mathrm {V} }}\cdot$

Si donc $\mathrm {V}$ est assez petit pour être comparable à $\mu ^{2},$ la méthode du Chapitre précédent cesse d’être applicable.

143.Il est aisé de voir qu’une difficulté analogue se présente dans le Problème des trois Corps.

Reprenons, en effet, ce problème tel que nous l’avons posé dans le Chapitre précédent. Nos variables conjuguées sont

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i}.\end{array}}$

La fonction $\mathrm {S}$ qui satisfait formellement à notre équation aux dérivées partielles

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

et qui a été définie dans le Chapitre précédent dépend des constantes $\Lambda _{0},$, $\Lambda '_{0}$ et $\mathrm {V} _{i}^{0}\,;$ ces dernières constantes $\mathrm {V} _{i}^{0}$ seront en général,