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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
d’ailleurs périodique par rapport aux variables indépendantes
Ce premier membre dépend d’un paramètre
et quand ce paramètre
s’annule, il se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')=\sum _{i=1}^{i=4}2\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abcd31e71f0100dc7242fc294a3604e94f06bcd)
Pour
le premier membre ne dépend donc plus des
mais
seulement des dérivées ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09913655f9df6201955fe6dde1e19900da0dbd7e)
Nous nous trouvons donc dans les conditions où l’analyse du
no 125 est applicable et nous pouvons conclure qu’il existe une série
![{\displaystyle \mathrm {T} ''_{0}+\mu '\mathrm {T} ''_{1}+{\mu '}^{2}\mathrm {T} ''_{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c0e5919c702ec074722880e2d3346d20e0c756)
développée suivant les puissances de
et qui, substituée à la
place de
satisfait formellement à l’équation (2), et que cette
série est telle que les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} _{k}''}{d\omega _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5849ad0e0d7e596aa6694031bf92ba929154c44b)
soient périodiques par rapport aux ![{\displaystyle \omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fb1685cabb3d45fc90a0f419ebeb1f2723e95f)
Nous poserons
![{\displaystyle \mathrm {T} ''_{0}=\Omega '_{1}\omega _{1}+\Omega '_{2}\omega _{2}+\Omega '_{3}\omega _{3}+\Omega '_{4}\omega _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76eb12d8ef79252ec5dda7060d4933dde318bb9)
étant nos quatre constantes d’intégration ; et la
constante
devra satisfaire à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} '={\textstyle \sum }2\mathrm {A} _{i}\Omega '_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958b95e8ab53b3b87f61172e3d747e8bd8ef0fa3)
On vérifie sans peine que
est un polynôme entier de degré
par rapport aux quatre constantes ![{\displaystyle \Omega '_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a76823ad9979c91fbfb8559ac8430738d8cacd)
Il en résulte que
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mu '\mathrm {T} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3da30f16984cce4858408367fece2cfa8589699)
se présente sous la forme d’une série développée suivant les puissances
entières croissantes des quatre quantités
![{\displaystyle \mu '\Omega '_{1},\quad \mu '\Omega '_{2},\quad \mu '\Omega '_{3},\quad \mu '\Omega '_{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4075841d7c59767b86854d4f376dec1dff96ea95)
que j’appellerai pour abréger
![{\displaystyle \Omega _{1},\quad \Omega _{2},\quad \Omega _{3},\quad \Omega _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855cd1a57797605b05b12be913ad51eb062ee114)