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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
Or
peut être développé suivant les puissances croissantes
des
il n’y a pas dans ce développement de terme tout connu
et les termes du premier degré se réduisent à ![{\displaystyle \Omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859d6aab59c0852f9213ff1a37203cf17774024a)
On tirera de là, par le théorème du no 30,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}&=f_{1}(\rho _{1},\rho _{2}),&\Omega _{2}&=f_{2}(\rho _{1},\rho _{2}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e256858f129ccb83835a32139738ec9cf02ba74)
et
étant des séries développées suivant les puissances de
et de
dont les coefficients dépendent d’ailleurs d’une manière
quelconque de
![{\displaystyle \Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \omega _{1}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ff832587f40068f89033095084308ef53b2cfc)
et
![{\displaystyle \quad \omega _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509e8c323a3a4a390866dcd90c621f832fea8171)
Les termes de degré 0 seront nuls, ceux du premier degré se réduiront
respectivement à
et à ![{\displaystyle \rho _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1176972764aea9e1b99cf5d757838aea11c6f3)
Il résulte de là que
et
seront, comme
et
de l’ordre du
carré des excentricités.
D’après la définition de
et
ces quantités pourront être
développées suivant les puissances de
et
les coefficients du
développement dépendant d’une manière quelconque de
et de
ces développements ne contiendront pas de termes de degré 0 et
les termes du premier degré se réduiront respectivement à
et
à
Il résulte de là :
1o Que
et
sont de l’ordre du carré des excentricités ;
2o Qu’on peut inversement développer
et
suivant les puissances
de
et de
et qu’on a alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}&=\mathrm {V} _{1}+\varphi _{1}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),&\Omega _{2}&=\mathrm {V} _{2}+\varphi _{2}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10d05bd263416534dff10f5845a419554db57cc)
et
ne contenant que des termes du second degré au moins
par rapport à
et ![{\displaystyle \mathrm {V} _{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96734df482e45feb2a3f19b0ff74743760318f88)
3o Que
peut se développer suivant les puissances croissantes
de
et de
et ne contient alors que des termes du deuxième
degré au moins par rapport à ces deux quantités ;
4o Que le développement de
et de
suivant les puissances
croissantes de
et de
commençant par des termes du premier
degré, ces deux dérivées sont du même ordre de grandeur que le
carré des excentricités ;