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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
De plus, la quantité
qui doit être une constante ne pourra
dépendre que des constantes d’intégration, c’est-à-dire des
de
sorte que
ne dépendra [en vertu de l’équation (1)] que de
et
Nous sommes donc ramené au cas traité dans le paragraphe
précédent, et nous devons conclure que les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c058bcbb07fffb487725c9521224bc15ba212f)
peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\xi _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,\eta _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640a73a809f754e19cd1a77778ffa4542836c686)
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&n_{i}&=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}n_{i}^{p}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581c2960a71b4162dff8addde0580eae7d7ef5bd)
où les
sont des constantes, où les
et les
sont des fonctions
périodiques des
dépendant en outre des
constantes d’intégration
où les
sont
autres constantes d’intégration ; où enfin
les quantités
dépendent encore des constantes ![{\displaystyle \xi _{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c7c1a48f7847e8db44cc7fa4e54a59a8daba20)
Revenant aux variables primitives, on verra ensuite que les
équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd774eb8de71b97ebafc19f362e32a258594635)
peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}x_{i}^{p}+\ldots ,\\y_{i}&=\varepsilon _{i}w_{i}+y_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}y_{i}^{p}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ac5bb80b729b76091b6f161c0a9830d3d58436)
les
et les
étant des fonctions périodiques des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Quant au coefficient
il peut être égal à 0 ou à 1. Il est toujours
égal à 1 pour
1 ou 2 ; il est égal à 1 ou à 0 pour
3,
selon que c’est
ou
qui est périodique par rapport
aux
et de même, il es égal à 1 ou 0 pour
4, selon que
c’est
ou
qui est périodique par rapport aux
Tout est donc ramené à l’intégration de l’équation aux dérivées
partielles (1), ou, ce qui revient au même, à l’intégration des équations
canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}}&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2636442b9ed56643c38a10c3883c78962d7ae07c)