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CHAPITRE XI.
la fonction
après le changement de variables sera périodique par
rapport aux
Nous avons appelé
la valeur moyenne de
considérée
comme fonction périodique de
et
Je dis que, si après le
changement de variables nous regardons
comme une fonction
périodique de
et
sa valeur moyenne sera encore
En effet, on a par définition
![{\displaystyle 4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4661c559bee52abd7962aa936a0c717e20f8417)
et je me propose de démontrer que
![{\displaystyle 4\pi ^{2}\mathrm {R} =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb6acb81a4da9c8b2ec1855d56dc424757dba02)
On a en effet
![{\displaystyle \iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\left({\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}-{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}\,dy_{1}\,dy_{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2309f0adab81df275421f2b2c455463039a54b6a)
or, dans les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\xi _{1},&x_{2}&=\xi _{2},&x_{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}},&\eta _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\quad (i=3,\,4),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13da4591684d666a7cab64a025f7604c8878802d)
et
et
n’entrent pas ; ce qui montre que, quand on
exprimera les variables nouvelles en fonction des anciennes
et
ne dépendront ni de
ni de ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)
Donc, si l’on remplace, dans
et
par leurs valeurs en fonction
de
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {T} }{dy_{1}}}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{2}}}=0,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{1}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{i}\,dy_{2}}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b32a4f8a64cf46e76d3d76b2d391bb7e34a14f)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\eta _{1}}{dy_{1}}}&=1+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{1}}}=1,&{\frac {d\eta _{1}}{dy_{2}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{d\xi _{1}\,dy_{2}}}=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe747bba706eb82ae5f718a430417501e8db44f)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\eta _{2}}{dy_{1}}}&=0,&{\frac {d\eta _{2}}{dy_{2}}}&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1f3f808fed57ca12d500e8e2ac98f459fa3b62)
On a donc
![{\displaystyle \iint \mathrm {F} _{1}\,d\eta _{1}\,d\eta _{2}=\iint \mathrm {F} _{1}\,dy_{1}\,dy_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69c16d602377b8dbf9276e86c8db5fdaf363624)
C.Q.F.D.