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APPLICATION À L'ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.
d’où
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\xi &=\tau _{1}\cos \varphi &{}+{}&\tau _{2}\sin \varphi ,&\qquad \xi '&=-\tau _{1}\sin \varphi &{}+{}&\tau _{2}\cos \varphi ,\\\xi &=\tau _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\sin \varphi ',&\qquad \xi '&=-\tau _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\cos \varphi '.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2402ff68616c74b5cf8c2045e1502c13e2ec5ff5)
D’après le théorème du no 4, la forme canonique des équations
ne sera pas altérée si l’on remplace les variables anciennes
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrl}\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\eta ,&\eta ',&q,&q'\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905154381a9558bc696e8562bea9790fadd9be23)
par les variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrl}\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4},\\\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddf4475b693918ceefeb6d8d45a5f537f8dd2f5)
Il reste à montrer comment on choisira les angles
et
en fonctions
de
et de ![{\displaystyle \Lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6f988124d5f079ee13190c67b6ec511513368)
On choisira l’angle
de telle façon que la forme quadratique
![{\displaystyle \mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')=\mathrm {R} '_{2}(\tau _{1}\cos \varphi +\tau _{2}\sin \varphi ,\,-\tau _{1}\sin \varphi +\tau _{2}\cos \varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66c389b296bf0a4df25a5e671ce1bcb6770deb9)
se réduise à une somme de deux carrés
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}\tau _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\tau _{2}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340a8d63e718db187ed95d8b9699cca852cd4528)
On aura de même
![{\displaystyle \mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')=\mathrm {R} '_{2}(\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,\,-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi )=\mathrm {A} _{1}\sigma _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\sigma _{2}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ce5752b59c27804d0bf82305a4d93fb82c3c60)
On choisira de même l’angle
de telle façon que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} ''_{2}(p,p')&=\mathrm {A} _{3}\tau _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\tau _{4}^{2},\\\mathrm {R} ''_{2}(q,q')&=\mathrm {A} _{3}\sigma _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\sigma _{4}^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6993bf369c660104b45d59095c3adf530f401b0)
on aura alors
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}=\mathrm {A} _{1}(\sigma _{1}^{2}+\tau _{1}^{2})+\mathrm {A} _{2}(\sigma _{2}^{2}+\tau _{2}^{2})+\mathrm {A} _{3}(\sigma _{3}^{2}+\tau _{3}^{2})+\mathrm {A} _{4}(\sigma _{4}^{2}+\tau _{4}^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cf8b2d2a769ff027095ccfa4aaffcbd25106b9)
Remarquons que
dépendent de
et de ![{\displaystyle \Lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6f988124d5f079ee13190c67b6ec511513368)
La relation entre les variables
et
qui s’écrit
(5)
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est une substitution linéaire orthogonale ; c’est grâce à cette circonstance,
comme nous l’avons expliqué au no 5, que la forme