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CHAPITRE X.
Mais le développement de
est bien connu ;
n’est autre
chose, en effet, que l’ensemble des termes séculaires de la fonction
perturbatrice qui sont du deuxième degré par rapport aux excentricités
et aux inclinaisons.
Je puis en conclure deux choses :
1o Que les équations linéaires (3) peuvent se déduire par un
changement de variables très simple des équations (A) et (C) de
la Mécanique céleste de Laplace (Livre II, Chap. VII, t. Ier,
nos 55 et 59, p. 321 et 334, édition de Gauthier-Villars, 1878)
qui servent à calculer les variations séculaires des excentricités et
des périhélies, des inclinaisons et des nœuds ;
2o Que la fonction
est d’une forme particulière et peut s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')+\mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')+\mathrm {R} _{2}''(p,p')+\mathrm {R} _{2}''(q,q').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b121a385c88ea6692767a4e87ff6bf00aee215)
Elle est ainsi la somme de quatre formes quadratiques, la première
dépendant seulement de
et de
la seconde formée avec
et
comme la première avec
et
la troisième dépendant seulement
de
et de
la quatrième formée avec
et
comme la troisième
avec
et ![{\displaystyle p'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f82e4b30804343bb1b6a429c904d7ff8bd9def)
Cela posé, nous allons faire un changement linéaire de variables
en nous arrangeant de façon à ne pas altérer la forme canonique
des équations.
Posons pour cela
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\mathrm {V} =&+\xi (\sigma _{1}\cos \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\sin \varphi )&{}+{}&\xi '(-\sigma _{1}\sin \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\cos \varphi )\\&+p(\sigma _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\sin \varphi ')&{}+{}&p'(-\sigma _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\cos \varphi '),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e74b67d95fb56e5c964193bb898cbc5f36f0df)
et
étant deux angles dépendant de
et de ![{\displaystyle \Lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6f988124d5f079ee13190c67b6ec511513368)
Posons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{aligned}\eta &={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}=\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,&\eta '&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi '}}=-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi ,\\q&={\frac {d\mathrm {V} }{dp}}=\sigma _{3}\cos \varphi '+\sigma _{4}\sin \varphi ',&q'&={\frac {d\mathrm {V} }{dp'}}=-\sigma _{3}\sin \varphi '+\sigma _{4}\cos \varphi '.\end{aligned}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d476b30b1ef2d32acc544843e853e6740e8325c0)
J’ai ainsi des relations qui définiront les variables nouvelles
en fonctions des variables anciennes.
J’introduis encore quatre nouvelles variables
définies
par les relations
![{\displaystyle \tau _{i}={\frac {d\mathrm {V} }{d\sigma _{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd17c45e6078cfac42d6b74e69dab0512a922897)