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CHAPITRE IX.
Soit
une fonction des
et de
nouvelles constantes
satisfaisant à cette équation. Si nous posons
(6)
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nous satisferons aux équations (4) en égalant les
à des constantes
et les
à des fonctions linéaires du temps.
Si
n’est qu’une intégrale approximative de (5), nous n’aurons
ainsi que des solutions approximatives des équations (4).
Telle est la méthode de la variation des constantes ; ce n’est pas
tout à fait celle que nous avons appliquée au no 125 ; conservant
l’équation (1), après en avoir trouvé une solution approximative,
nous en cherchions une solution plus approchée encore. Soit
cette solution, qui dépendra des
et de
constantes
Si nous
posons alors
(7)
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les
seront des constantes et les
des fonctions linéaires dû
temps, soit exactement si
est une solution exacte de (1), soit
approximativement si
n’est qu’une solution approchée. Pouvons-nous
choisir
de telle façon que les équations (7) équivalent
aux équations (3) et (6) ? Les équations (3) et (6) peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}d\mathrm {S} '&={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{0}\,dx_{i}^{0},\\d\mathrm {S} ''&={\textstyle \sum }x_{i}^{0}\,dy_{i}^{0}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fababef27bc9be904d8ede283384ea7c533ae0)
et les équations (7)
![{\displaystyle d\mathrm {S} '''={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1876c1eab0ec19e1e0b39f832d90962f8af38682)
Il suffira donc de prendre
![{\displaystyle \mathrm {S} '''=\mathrm {S} '+\mathrm {S} ''-{\textstyle \sum }x_{i}^{0}y_{i}^{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1820a2a6f7c4847e775bbf22178438609e40128)
la méthode du no 125 ne diffère donc pas essentiellement de celle
de M. Newcomb et ne présente sur elle d’autre avantage que celui
d’éviter de trop nombreux changements de variables.