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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
Soit
une fonction de
et de
constantes
satisfaisant approximativement à l’équation (1), de
telle sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\varphi _{0}(x_{i}^{0})+\varepsilon \varphi _{1}(x_{i}^{0},y_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69085383968877e7d111ee3753a1a4c59988d44f)
ne dépendant que des constantes
et
étant très petit. Nous
aurons alors une solution approximative des équations canoniques
(2)
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en faisant
(3)
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et en regardant les
et les
comme des constantes arbitraires.
Supposons maintenant qu’on veuille pousser plus loin l’approximation
en appliquant la méthode de Lagrange ; on regardera alors
les
et les
non plus comme des constantes, mais comme de
nouvelles fonctions inconnues. Voici comment, d’après le théorème
du no 4, nous devrons former nos nouvelles équations. Substituons
à la place des
leurs valeurs en fonction des
et des
tirées des équations (3) ; il viendra
![{\displaystyle \varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\psi (x_{i}^{0},y_{i}^{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46220c435f5601fc122cfb8625a5f21c71caaa0b)
et nous aurons les équations canoniques
(4)
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J’ai pris comme variables les
au lieu des
ce qui revient au
même, afin de mieux mettre en évidence la forme canonique des
équations.
L’intégration des équations (4) peut être ramenée à celle de
l’équation aux dérivées partielles
(5)
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