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CHAPITRE XXI.
deviendront des fonctions de
et de
et l’expression
![{\displaystyle \eta _{1}\,dx+\eta _{2}\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe183d5ca48d5d74aacac018b3d2113f4fe7655)
sera une différentielle exacte
Intégrons cette différentielle,
nous obtiendrons une certaine fonction
jouissant des propriétés
suivantes :
1o Ses dérivées seront périodiques par rapport à
2o Elle sera développable suivant les puissances de
et
de
3o Un terme quelconque de
ou de
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy}}=\eta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fe9479bf7b54a4217b151915307af4e2e3dca1)
se composera du cosinus ou du sinus d’un multiple de
multiplié
par une puissance de
par une puissance de
et par un
coefficient de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f63782b5c70117627f346f4fa3d0bb17b0e4919)
où
est développable suivant les puissances de
de
et de
et où
est un produit de facteurs de la forme
![{\displaystyle m{\sqrt {-1}}+n\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844a5307a5daeb993b7d60c83b19d0ba2bd31647)
4o L’expression
est développable suivant les puissances de
et de
il en est donc de même de
seulement, tandis que le
développement de
suivant les puissances de
est convergent,
le développement suivant les puissances de
n’a de valeur qu’au
point de vue formel.
Nous aurions pu opérer de même sur l’expression (17 bis) et
nous aurions obtenu une fonction
tout à fait analogue à la
fonction
avec cette seule différence qu’au lieu d’être développée suivant
les puissances de
et de
elle serait développée suivant
les puissances de
et de
J’ai dit que
(et
) est développable suivant les puissances de
soit donc
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon +\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a244d653c699c256cbef6adfd1ffe51d1d5f4578)