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CHAPITRE XXI.
mière intégrale sera une fonction holomorphe de
mais il pourra
n’en pas être de même de la seconde.
Étudions donc les singularités que peut présenter la seconde
intégrale quand la partie imaginaire de
est négative. Supposons
que cette partie imaginaire soit plus grande que
Reprenons
le développement
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca2476e8a92f5e16c94f8e28a6e04cecb76de85)
Nous pourrons écrire
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {A} _{1}e^{+{\frac {u}{2}}}+\mathrm {A} _{2}e^{+u}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}+\mathrm {R} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092aded515eb599f7e7c50b46ffede28a5b740e5)
et, quand
tendra vers
tendra vers zéro. La seconde
intégrale peut s’écrire alors
![{\displaystyle \mathrm {J} _{1}+\mathrm {J} _{2}+\ldots +\mathrm {J} _{n}+\mathrm {S} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01918984af5aff1faeef98bc90fc99b343d42156)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\mathrm {K} }&=\mathrm {A} _{\mathrm {K} }\int _{-\infty }^{0}e^{\left({\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq\right)u}\,du,&\mathrm {S} _{n}&=\int _{-\infty }^{0}e^{-iqu}\,du.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbc4b072e806673096a4cbfbf1f069d0995b6aa)
L’intégrale
n’a pas de sens par elle-même dès que la partie
imaginaire de
est plus petite que
et l’on ne peut lui en attribuer
un que par continuité analytique. On trouve alors
![{\displaystyle \mathrm {J} _{\mathrm {K} }={\frac {\mathrm {A} _{\mathrm {K} }}{{\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fb0d6b89dd040acb759a1ffa28579b53d86bb5)
Quant à
tant que la partie imaginaire de
est plus grande
que
c’est une fonction de
qui ne présente aucune singularité,
car la quantité sous le signe
s’annule pour
On voit ainsi que la seconde intégrale est une fonction méromorphe
de
admettant pour pôles
![{\displaystyle q=-i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}\quad (\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbd08b37be479d12988df20de232fdfd960086f)
entier positif
![{\displaystyle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775c8f99fbc2db4ef20dd618a468f110bae7bd76)
avec le résidu
![{\displaystyle i\mathrm {A} _{\mathrm {K} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d7c0ba344ab7e6355a867945d6ce4abe72d1f3)