465
EXTENSION DE LA MÉTHODE DE
M. BOHLIN.
On en conclut, en effectuant l’intégration,
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{2n+1}(-1)^{n}-i\sum {\frac {t^{2n+1}(-1)^{n}}{2\alpha +2n+1}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107b78f04f9fc7126ac5ac258fd52dff3c76ed55)
On voit ainsi que, pour
s’annule. D’autre part,
comme la partie réelle de
est nulle, l’expression
ne s’annule
pas pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Pour que la fonction
s’annule pour
c’est-à-dire pour
il faut donc et il suffit que la constante
s’annule. La
fonction que nous avons appelée
au no 226 est donc égale à
![{\displaystyle \psi '={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d712b77b4f893b787a283217b1770ed77d17527)
Je puis écrire aussi la formule (10) sous la forme
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4dd4ea865d928443624901edf0842666d01a61)
étant une nouvelle constante.
Si nous supposons que
soit plus grand que 1 et que nous
développions suivant les puissances décroissantes de
il viendra
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{-(2n+1)}-(1)^{n}+i\sum {\frac {t^{-(2n+1)}(-1)^{n}}{2n+1-2\alpha }}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea41314839fedee5cd918e74e2fe2f0675bf2c32)
Le premier et le second terme s’annulent pour
mais il n’en
est pas de même du troisième.
Pour que la fonction
s’annule pour
c’est-à-dire pour
il faut donc et il suffit que la constante
s’annule. La
fonction que nous avons appelée
au no 226 est donc égale à
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611a1c6fe11b169bf7038935780b3830a1ea3737)
Pour que
fût égal à
il faudrait donc que l’on eût
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40a7c01b029d2e7c914f1f9bd76c8a67cac8700)
ce qui, comme nous l’avons vu plus haut, n’a pas lieu.
Plus généralement, supposons que
s’annule pour