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CHAPITRE XXI.
Les intégrales (11) et (12), prises le long de
nous donneront
d’autres valeurs de
et de
que je désignerai par
et
pour
les distinguer des premières.
Comme la partie imaginaire de
est négative, si
est réel,
négatif et très grand, l’exponentielle
aura son module très
petit. Donc, pour
c’est-à-dire pour
et
s’annulent.
On peut se demander si
est égal à
On voit qu’entre les
deux chemins d’intégration
et
la quantité sous le signe
présente un point singulier qui est le point
![{\displaystyle q=-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e15299c6c6fe4ed3b60370078c9826b259a1d8a)
Ce point singulier est un pôle. La différence des deux intégrales
sera donc égale à
multiplié par le résidu ; ce qui donne
![{\displaystyle \psi '-\psi =\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,e^{\frac {-iu}{\sqrt {8\mu }}}\,\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3eff0c65b3c878b8ac9a433845fb4bfb7c0f583)
et, en appelant
et
le module et l’argument de ![{\displaystyle \theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a695f297594ba8d31e82af55a8ea8c97d47aeb33)
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}'-\mathrm {S} _{1}=\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,\rho _{0}\cos \left(x-{\frac {u}{\sqrt {8\mu }}}+\omega _{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95fbb3aa1652fcd7185d4202df8dcca5ed5de74)
On voit que
n’est pas égal
à moins que
![{\displaystyle \theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=\theta (i\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{\alpha u}\,du=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145f40f54caf7cc84bf14da667ea5ae459ce105a)
Cherchons maintenant à développer
et
suivant les puissances
de
voici ce que nous obtiendrons ; soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi &={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p},&\psi '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1918f664f4f7f4ca062fdbd38fd5a565f7cbd8ea)
il viendra
et
![{\displaystyle \psi _{p}'=\int {\frac {e^{iqu}}{i}}\,\theta (q)\left(-q{\sqrt {8}}\right)^{p-2}dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b04d2047cad401be7156655d549925c721015f)
l’intégrale étant prise le long de
pour
et le long de
pour ![{\displaystyle \psi _{p}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92df9b01c956298b33478b5401934fa28229cdd9)
Mais, cette fois, la quantité sous le signe
ne présente pas de