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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE
M. BOHLIN.
il vient, en remplaçant
et
en fonctions de ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle 2\pi \theta (q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {4t^{-2iq}(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ab3549eabdff77421812885a68618b9b5f1250)
En appliquant à cette intégrale la transformation qui nous a
conduits à la formule (10), on trouve
![{\displaystyle 2\pi \theta (q)=8qi\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-2iq}\,dt}{1+t^{2}}}={\frac {8qi\pi }{e^{\frac {q\pi }{2}}+e^{-{\frac {q\pi }{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd82ae3035461c020bc7ae56513f100e9232ead4)
d’où enfin
![{\displaystyle \theta (q)={\frac {4qi}{e^{\frac {q\pi }{2}}+e^{-{\frac {q\pi }{2}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabaa2e1c8e98f26dff5e84f7a286f08e8fb1fac)
On voit que
ne cesse d’être holomorphe que quand
est
égal à
multiplié par un entier impair.
Cela posé, la formule
![{\displaystyle \varphi =\int _{-\infty }^{+\infty }e^{iqu}\theta (q)\,dq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9a0063ebf12dc0c52f22e7d4bad7275c807bcf)
restera vraie quand l’intégrale sera prise non plus le long de l’axe
des quantités réelles, mais le long d’une courbe
restant au-dessus
de cet axe, mais s’en éloignant assez peu pour qu’entre
cette courbe et cet axe il n’y ait aucun point singulier de ![{\displaystyle \theta (q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97725ee25317cda2ca091e5f1b10a7201289d4f7)
Alors les formules (11) et (12) seront vraies également en prenant
les intégrales le long de
mais elles le seront sans restriction,
car, quel que soit
la quantité sous le signe
ne
deviendra pas infinie le long du chemin d’intégration.
On voit tout de suite une importante propriété de la fonction
définie par cette fonction (11). Nous avons sous le signe
l’exponentielle
comme la partie imaginaire de
est positive, si
est réel, positif et très grand, le module de cette exponentielle est
très petit. Donc pour
c’est-à-dire pour
et
s’annulent. On peut aussi remplacer le chemin d’intégration
par
un autre chemin
qui reste au-dessous de l’axe des quantités
réelles sans s’en éloigner beaucoup, de façon qu’entre
et cet
axe il n’y ait aucun point singulier de