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CHAPITRE XXI.
ou encore, en appelant
et
le module de l’argument de ![{\displaystyle \theta (q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5ed7dc39483709efcad42959548b90396804a8)
(12)
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où
et
sont des fonctions de ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Mais, pour que la formule (11) ait un sens, il faut que l’intégrale
soit finie et pour cela que la fonction sous le signe
ne devienne
pas infinie pour
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9541e7bf2fec273f014f91ac89d9b41ec67a69af)
Comme cela n’aura pas lieu en général, on pourrait remplacer la
formule (11) par la suivante [ce qui est une autre manière de disposer
de la fonction arbitraire
]
(11 bis)
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étant une constante arbitraire, d’où
(12 bis)
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Mais on peut encore s’en tirer d’une autre manière. En général,
sera une fonction de
qui restera holomorphe si
est réel
ou si la partie imaginaire de
n’est pas trop grande. Soit, par
exemple,
![{\displaystyle \varphi =\sin y={\frac {4\,t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c0e65ef47f5e0d2f662069921699dbcbd98bd4)
Comme on a, d’après la formule de Fourier,
![{\displaystyle \theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}e^{-iuq}du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269973fe8514588d98e696b954ebcc36d0e6b279)