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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE
M. BOHLIN.
La série
aurait été convergente ; en effet, si, comme je le
suppose, la fonction
est holomorphe pour toutes les valeurs
réelles de
on aura
![{\displaystyle \rho _{m}<kh_{0}^{|m|},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a24550823e63fa96c07df62b50a27cb0d2df6f)
et
étant deux constantes positives
d’où il suit que
la série
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442397fce332e0fc26769cdaf7a0eaa480f37221)
converge absolument, de même a fortiori que la série ![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7350f23cee5edbc92ba9e82d73e5770275742fdc)
D' autre part, le développement (8) converge, mais il n’en est
pas de même du développement (9).
Pour nous en rendre compte, il nous suffira d’envisager un
exemple très particulier.
Faisons
![{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}},\quad u=0,\quad \omega _{m}=0,\quad \rho _{m}=\mathrm {A} ^{|m|},\quad 0<\mathrm {A} <1,\quad \lambda ={\frac {1}{\sqrt {8}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6775714da0d6fbd98ca57936c8c1661f6a90a40c)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}={\textstyle \sum }\,(-m)^{p}\mathrm {A} ^{|m|}\quad (m\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2b9537a31d5a0fd42bb8f5986f19cdea2c854f)
variant de
![{\displaystyle \;-\infty \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fe788ab44f0b4722d80b7998c8667cd31192fd)
à
![{\displaystyle \;+\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f504960c7a0d696a9412ba847f70a46e365f404f)
ce qui montre que
est nul si
est impair et égal à
![{\displaystyle 2\,{\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}\quad (m\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa790083063048cbd2ca928131d2fd18cf062421)
variant de
![{\displaystyle \;1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eaa9f2c333935997e4bdb96143bde3da6d9efb)
à
![{\displaystyle \;+\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b2b1f81601772bec8e42b067a1f31828ec5a3f)
Or nous avons évidemment
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}>{\textstyle \sum }\,m(m-1)\ldots (m-p+1)\mathrm {A} ^{m}={\frac {p!\,\mathrm {A} ^{p}}{\left(1-\mathrm {A} \right)^{p+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d034dd82e544e50c5f1a61b993acfe582efae2)
d’où, pour
par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}>2(p!).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fe474f490e7d94b71e7acce562c19c83be054e)
Les termes du développement (9) sont alors nuls de deux en
deux et ceux qui restent sont plus grands que les termes correspondants
du développement
![{\displaystyle 2\,{\textstyle \sum }\,q!\,\mu ^{q+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6464e450a21d5fa09a78adef95163b61c25c33df)
qui est manifestement divergent.
Ce que je viens de dire du développement de
s’appliquerait
évidemment à celui de
et des autres fonctions analogues.