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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.
remplacées par les constantes
et
analogues aux
devient
ainsi une constante.
3o Ils sont périodiques par rapport à
et aux
4o Ils sont développables par rapport aux puissances entières
de
et aux puissances fractionnaires des
qui doivent être
remplacés par
L’équation (4 bis) peut ainsi s’écrire
(4 a)
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Envisageons le développement de
suivant les puissances de
Le terme indépendant de
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}+\mathrm {R} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568751236b9a860f57cad45059e04ed7deeedc57)
défini comme au no 221, est une constante qui ne dépend que
de
et ![{\displaystyle \Lambda _{1}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a11672508559319334ac09e23f981ba8701440)
Le terme en
est nul (sauf si
cas que nous
laissons de côté).
Le terme en
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}+2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56c09c3fbb6ff0ad6d25693ea4753b657f3e5bc)
Le premier terme qui dépend de
est le terme en
![{\displaystyle \varepsilon ^{|m+m'|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ca4cc7d451f7e5e8dd95e9cfc6928df622b0ff)
Voici comment on peut traiter l’équation (4 a). Cherchons à
développer
suivant les puissances de
et soit
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\mathrm {U} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {U} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathrm {U} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d510feb26732d40d03d6be9c8f1482b473b26bf)
Développons de même
et
et soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{2}&=\gamma _{0}+\varepsilon \gamma _{1}+\varepsilon ^{2}\gamma _{2}+\ldots ,&\mathrm {T} _{0}&=\mathrm {V} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {V} _{1}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e79f49c10e02d8fe10edad4b17329d0ff221e8b)
en remplaçant
par cette valeur dans
et développant
il vient
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}'+\varepsilon ^{3}\mathrm {R} _{3}'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8c7b517bc9bdd2bf2214ab3dc1698017f452d4)