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CHAPITRE XXI.
on aura
(12)
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On voit que les
sont développables suivant les puissances
de
Pour nous rendre compte de la forme du développement,
développons la fonction
elle-même suivant les puissances de
il vient
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {C_{0}+\mu \,C_{2}+\mu ^{2}C_{4}} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c9b1de439ca8350c9ca7a0e97785133b9b4f38)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {C} _{0}=\mathrm {F} _{0}\left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac52b39b433fee01c2a37061d7188b6e23d8757e)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{k}^{0}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}-n_{1}^{0}\,{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05c964f160575065e019c76d0ad25b094943ddf)
puisque
est nul.
D’ailleurs on voit que
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\mathrm {C} _{2}}}=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6822da2f5926902ef557996d67e48db83460fd88)
et que le développement de
commence par un terme en ![{\displaystyle \mu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4688795c2a04dfb3e08202b040d271bc255deb)
La seconde équation (12), où le coefficient
est divisible par
et le second membre par
nous apprend que le développement
de
commence par un terme en
Comme
est également
divisible par
par
et le second membre par
la troisième
équation (12) nous apprend que
est divisible par
Remarquons, d’autre part, que les équations (11) sont susceptibles
de simplification. Nous avons supposé jusqu’ici que
et
étaient exprimés en fonctions des variables
et
et des constantes
et
Posons maintenant
![{\displaystyle \beta =x_{1}^{0}+\gamma {\sqrt {\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cfeb99f737c1a401857911f2ccf21c690a560b)
et supposons, ce qui revient au même, que
et
sont exprimés