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CHAPITRE XXI.
Pour mettre en évidence le degré de chaque terme par rapport
aux excentricités et aux inclinaisons, remplaçons partout
![{\displaystyle \xi _{1},\quad \eta _{1},\quad \xi _{1}',\quad \eta _{1}',\quad p,\quad q,\quad p',\quad q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bce85cc4fc7808f3286959bfd3ba9b69d98115)
par
![{\displaystyle \varepsilon \xi _{1},\quad \varepsilon \eta _{1},\quad \varepsilon \xi _{1}',\quad \varepsilon \eta _{1}',\quad \varepsilon p,\quad \varepsilon q,\quad \varepsilon p',\quad \varepsilon q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be956ad5195b2b0809df99d3ae5f3c8bd9eebdb)
et rendons-nous compte du degré de chacun des termes de
par
rapport à ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
Nous aurons
![{\displaystyle [\mathrm {F} _{1}]=\mathrm {R} +\mathrm {R} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecef545c68a4d119730158b06d7a01831f7602b3)
où
est l’ensemble des termes indépendants à la fois de
et de
de telle sorte que
![{\displaystyle \mathrm {R} =\left[\left[\mathrm {F} _{1}\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de49e1622961851066cf9df993ec5744c6cce5d)
et où
est l’ensemble des termes dépendant de
et de
seulement.
est alors développable suivant les puissances de
et nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}+\varepsilon ^{4}\mathrm {R} _{4}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76e9a77f95d23efa16f0f265f4639372d5f968c)
Quant à
il est divisible par
![{\displaystyle \varepsilon ^{\left|m+m'\right|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cf44c2d805dc3a1e792562fdc35b2e8596ec12)
On aura, en général,
![{\displaystyle |m+m'|>2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3bbf6b98ed2ec4864be2c64c83a39cf8641158)
de telle sorte que l’on peut poser
![{\displaystyle \mathrm {R} '=\varepsilon ^{3}\mathrm {R} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8ea234338c258e8a98ddabb398d820e1f54ba7)
ne dépend que de
et
et peut être regardé comme une
constante ; je puis donc poser
![{\displaystyle \mathrm {C} _{2}=\mathrm {R} _{0}+k_{0}^{2}+\varepsilon ^{2}k_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b496cbc2eed3a63fc40c779592059b84f5b48a24)
et en même temps
![{\displaystyle \mathrm {A} h=k_{0}+\varepsilon ^{2}k_{1}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121d5ae5cf87a9acbcb85cbcb95cfaf273f628da)
de telle sorte que l’équation (5) devient
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!{\sqrt {k_{0}^{2}+\varepsilon ^{2}k_{1}-\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}-\varepsilon ^{3}\mathrm {R} ''-\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{4}-\ldots }}\,dy_{1}=2\pi (k_{0}+\varepsilon ^{2}k_{1}'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143e83980fb5056b0bc1319964e4b8064b29d1ce)
où, en développant le radical suivant les puissances de
réduisant