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SÉRIES DE M. BOHLIN.
nous pourrons développer suivant les puissances croissantes de
et nous obtiendrons les séries du no 127 ; si, au contraire,
est
comparable à
nous poserons
et nous retomberons sur
les séries étudiées dans le présent Chapitre.
Voyons la chose d’un peu plus près. Les équations (1) prouvent
que
et
sont des fonctions doublement périodiques
de
ou ce qui revient au même de
Soient
et
les deux
périodes (en considérant
comme la variable indépendante).
Par exemple,
sera égale à l’intégrale du second membre prise
entre
et
et
sera égale à deux fois cette intégrale prise
entre
De plus, quand
augmente de
ne change
pas et quand
augmente de
augmente de
Si
est réel, et on doit prendre
Alors
et
sont des fonctions périodiques de
de période
Si
est petit par rapport à
on peut développer suivant les puissances
de
(ce qui conduit aux séries du no 127) et chacun des
termes sera périodique de période
par rapport à
Mais si
est du même ordre de grandeur que
et que l’on
pose
il arrive que, pour une même valeur de
la
période
et le coefficient
sont proportionnels à
si alors
nous posons
![{\displaystyle \theta _{0}={\frac {\theta }{\sqrt {\mu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea49d53024b863eea912ef6e323b8fca424306d0)
les équations (1) deviennent
(1 bis)
|
|
|
La seconde de ces équations ne dépend plus de
Nous tirerons
de là
et
en séries développées suivant les sinus et les
cosinus des multiples de
dépendant de
mais indépendantes
de
Ce sont les séries du présent Chapitre.
Les séries obtenues d’abord, développées suivant les puissances