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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
d’où
![{\displaystyle {\frac {dw_{i}}{dt}}=n_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b2e35c1879d79c2cd7b214fed06cc8e7d28a59)
Nous supposerons que
est développable suivant les puissances
de
et nous écrirons
(11)
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Nos équations différentielles s’écriront alors
(12)
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On a, en effet,
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=\sum {\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dw_{k}}{dt}}={\textstyle \sum }n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008515c5faa510c89956c5f9be02a1186b770562)
Dans les équations (12), remplaçons
et
par leurs
développements (9), (10) et (11) et égalons ensuite les puissances
semblables de
En posant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dx_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {Z} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {Z} _{i}^{1}=0,\\\sum _{k=1}^{k=n}\sum _{q=1}^{q=p-1}n_{k}^{q}\,{\frac {dy_{i}^{p-q}}{dw_{k}}}&=-\mathrm {T} _{i}^{p}&\quad &(\mathrm {si} \;p>1)&\qquad &\mathrm {T} _{i}^{1}=0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54bb9c664e87e2d90d3aaaa1dec23d23463e5f30)
Il viendra, en égalant les coefficients de
![{\displaystyle (p>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbef300759c9f3b88ee8b50b2ad8ab04f05413b0)
(13)
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En égalant les termes indépendants de
il vient simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dx_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=0,&{\textstyle \sum }n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=n_{i}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4e16bbab2725aa56cad67ae5473e1edf890b99)
équations auxquelles on peut, comme nous le savions déjà, satisfaire en faisant
![{\displaystyle x_{i}^{0}=\mathrm {const.} ,\qquad y_{i}^{0}=w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cd8df65e873c34d6a01ff2b9592c8281cf3ccd)