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SÉRIES DE M. BOHLIN.

elles deviennent

${\begin{aligned}w_{k}&=y_{k}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,y,\\e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}&=e^{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{\alpha _{1}\,d\lambda }}.\end{aligned}}$

Le déterminant fonctionnel des seconds membres de ces équations par rapport à $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}$ se réduit à 1 pour $y_{1}=0.$

Cela va nous permettre d’appliquer le théorème du n^o 30.

Il en résulte que, pour toutes les valeurs de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},$

les $y$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et de

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}.$

Les coefficients des développements sont des fonctions de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

Pour nous rendre compte de la forme de ces fonctions, observons que, quand $y_{k}$ augmente de $2\pi ,$ $w_{k}$ augmente de $2\pi .$

Nous conclurons que

$y_{1}$et$y_{k}-w_{k}$

est développable en séries procédant suivant les puissances de

${\sqrt {\mu }}$ et $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},$

et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de

$w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.$

La première équation (2 bis) nous fait voir ensuite, immédiatement, que les $x_{i}$ sont développables en séries de la même forme.

Si, au lieu de supposer $w_{1}$ négatif et très grand, et $y_{1}$ très voisin de zéro, nous avions supposé $w_{1}$ positif et très grand et $y_{1}$ très voisin de $2\pi ,$ nous serions arrivé au même résultat ; seulement, au lieu de séries procédant suivant les puissances de

${\sqrt {\mu }}$ et $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},$