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CHAPITRE XX.
Si nous posons
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il viendra, par un calcul facile,
![{\displaystyle d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\sqrt {\mu }}\,{\textstyle \sum }\,w_{i}\,d\lambda _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8d4bfa3b4fd6c0f1b1ae37acb6a72cbfdbd9a7)
de sorte que, si nous exprimons
en fonction des
et des
nous
aurons
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Ces changements continuels de variables pouvant engendrer
quelque confusion, j’insiste un peu :
est exprimé en fonction de
est exprimé en fonction de
est exprimé en fonction de
et
Nous avons donc
variables, à savoir
![{\displaystyle x_{i},\quad y_{i},\quad u_{1},\quad v_{1},\quad x_{k}',\quad z_{k},\quad \lambda _{i},\quad w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc42d0510d132d39913cd3addb5b0f8090f467f)
Mais ces variables étant liées par les
relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{i}}},&{\sqrt {\mu }}\,z_{k}&={\frac {d\mathrm {T} }{dx_{k}'}},&{\sqrt {\mu }}\,v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{du_{1}}},\\[0.75ex]u_{1}&={\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},&x_{k}'&={\frac {d\mathrm {V} }{dz_{k}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\lambda _{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2843ad016c9b477f79af2629007bbadb1d0fe51)
il n’y a en réalité que
variables indépendantes, ce qui nous
permet d’exprimer chacune de nos fonctions
par le moyen
de
variables convenablement choisies.
La fonction
jouit de la propriété caractéristique suivante :
Quand l’un des
augmente de
les autres variables
et
ne changent pas,
augmente de
Nous savons en effet que les dérivées de
par rapport à
et
aux
sont périodiques par rapport à ces variables.
Or quand
se change ainsi en
les autres
et
ne
changent pas ; qu’arrive-t-il ?
Les dérivées de
étant périodiques, ainsi que je viens de le
dire,
et les
ne changeront pas.