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CHAPITRE XX.
sorte que les
et les
seront des fonctions périodiques
des
Nous avons vu que les
doivent être des fonctions linéaires du
temps de sorte que
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d8c8b87c6261130f0e05032d735d6cb15808e3)
les
étant des constantes d’intégration arbitraires.
Il nous reste à déterminer les
Pour cela reprenons l’équation (2) de la page 343 ; le second
membre
est égal à
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\mathrm {C} _{4}\,\mu ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a8159ac46c97de523c2432036417fdd6b1ba68)
est une fonction des
sont des fonctions de
et des
que nous avons choisies arbitrairement, mais une fois
pour toutes.
Il en résulte que
est une fonction de nos constantes
et
Maintenant la méthode de Jacobi nous apprend que l’on a
(3)
|
|
|
Comme les
et
sont donnés en fonctions de
et des
ces
équations nous donneront les
en fonctions de ces mêmes
variables.
J’observe d’abord que
et les
étant développables suivant les
puissances de
il doit en être de même des
Le premier terme du développement de
est
le premier
terme du développement de
est
le premier terme du développement
de
sera
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d1f5bae525ff6e8012f4cd097656e9c7da5bdd)
de sorte que
s’annule pour
comme on devait s’y attendre ;
au contraire, pour
la seconde équation (3) nous donne
![{\displaystyle n_{k}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}=n_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a615e39d5d93f54a6c61349ba61b1f05cecdc364)
Le premier terme du développement de
est donc