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SÉRIES DE M. BOHLIN.
reprenons les notations du Chapitre précédent, nous pouvons écrire
![{\displaystyle \theta _{1}'w_{1}={\frac {d}{d\mathrm {C} _{2}}}\int {\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{\mathrm {A} }}}\,dy_{1}={\frac {1}{2{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0f0a321fe03b07fcf61ca7156cc30331d6e781)
Le second membre peut se développer sous la forme suivante
![{\displaystyle \gamma y_{1}+\psi (y_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8170c07649782106303d730594667ad871797af3)
étant une constante dépendant de
et des
et
une fonction
périodique.
Nous déterminerons
conformément à la convention faite plus
haut en faisant
![{\displaystyle \theta _{1}'=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7847398c9f1749939fbef63a9281ea27d82d9dc3)
d’où
![{\displaystyle \gamma (w_{1}-y_{1})=\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f386947dc37936ceb1f97af03ae6a7a278e1c177)
D’autre part, il vient
![{\displaystyle {\frac {dw_{1}}{dy_{1}}}={\frac {1}{2\gamma {\sqrt {\mathrm {A} }}}}{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}}}={\frac {1}{2\gamma \mathrm {A} {\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49f0a3c8fed1d8389f70dad1c62bc625e1cdc73)
Comme
est toujours de même signe,
sera toujours
positif, de sorte que
sera une fonction de
toujours croissante
et qui augmente de
quand
augmente de
Il en résulte inversement que
est une fonction de
toujours
croissante et qui augmente de
quand
augmente de
Nous pouvons donc écrire
![{\displaystyle y_{1}=w_{1}+\eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328f93a2efea80eac9988c5701d8f427103cdeb9)
étant une fonction de
de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Si donc nous ne supposons plus
les premiers termes du
développement de
![{\displaystyle x_{i},\quad y_{1},\quad y_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f8d8dc8d0cd487a1217ac88f88a4494d4e4bfc)
seront respectivement
![{\displaystyle x_{i}^{0},\quad w_{1}+\eta ,\quad w_{k}-{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e543077f2f16501f6e51b06b417cb5f958b3fb0d)
Les termes suivants seront périodiques par rapport aux
de