390
CHAPITRE XIX.
De plus, la dérivée seconde de
par rapport à
ne sera pas
nulle en général, de sorte que
sera une fonction holomorphe
des autres
Il résulte de tout cela que les
seront des fonctions holomorphes
pour toutes les valeurs réelles des
et pour les valeurs de
![{\displaystyle x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},\quad \mathrm {C} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee737436c6c0f8fc760f1d1aaeaca099d4a8afc)
voisines de celles que l’on considère.
Soient donc
![{\displaystyle \lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{n},\quad \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95d8db56373be2ddde1979ff4fcdd2b3962fd69)
des valeurs de ces constantes voisines de celles que l’on considère.
Posons
![{\displaystyle \lambda _{1}=\varphi (\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,\lambda _{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/427a596a956570cfe7ca293db3265ed1ccaba8f9)
Les deux membres des équations (2) vont être développables
suivant les puissances de
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}{\sqrt {\mu }},&x_{1}-\lambda _{1},&x_{2}-\lambda _{2},&\ldots ,&x_{n}-\lambda _{n},\\&x_{1}^{0}-\lambda _{1},&x_{2}^{0}-\lambda _{2},&\ldots ,&x_{n}^{0}-\lambda _{n},&\mathrm {C} _{2}-\gamma ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de259e1647021dce78319d40cd6390d7c69b0a8)
et suivant les sinus et cosinus des multiples des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
Mais, avant d’appliquer le théorème du no 30 aux équations (2),
nous allons transformer l’une de ces équations. À cet effet, posons
![{\displaystyle x_{1}=\varphi (x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})+{\sqrt {\mu }}\,x_{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1443a390750e6f8b9df7602c6e109d30a4661ba)
Alors la première équation (2) devient
![{\displaystyle \varphi (x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})+{\sqrt {\mu }}\,x_{1}'=\varphi (x_{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f5c758c2662eec8089b8e7c33948e79239dc12)
ou, en tenant compte des autres équations (2),
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\,x_{1}'=&\varphi \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{3}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}}\right)-\varphi \left(x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}\right)\\&+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd27b03ea2c167849f36faa0d8f33c2f6135affd)
Or nous savons que
sont nuls, ce qui veut