381
MÉTHODES DE M. BOHLIN.
diques sont convergentes, il n’en est plus de même de celles dont
nous venons de démontrer l’existence, de sorte que cette généralisation
n’a de valeur qu’au point de vue du calcul formel.
210.Cherchons maintenant à nous servir des résultats du
numéro précédent pour démontrer dans le cas général que les
relations (29) sont satisfaites d’elles-mêmes.
À cet effet, posons
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{\star }=x_{2}'y_{2}+x_{3}'y_{3}+\ldots +x_{n}'y_{n}+\theta -(\eta -\eta _{0})\zeta +x_{1}'y_{1}+y_{1}\eta -x_{1}'\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9609ea2adb9a4eaaf9f3242135ba7e546b0918d)
et changeons de variables en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dy_{i}}},&y_{i}'&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dx_{i}'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b674605a72ec7f782c505c1c331b488011e539)
la forme canonique des équations ne sera pas altérée, et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\eta ,&y_{1}'&=y_{1}-\zeta ,&y_{i}'&=y_{i}\quad (i>1),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c2d3b6032d01c14e008795d192dfdfa438af51)
et enfin
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}'+{\frac {d\theta }{dy_{i}}}-(\eta -\eta _{0}){\frac {d\zeta }{dy_{i}}}+y_{1}\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd1f0daa33581cfe17ceff395a578147ba3252b)
ou, en tenant compte de (41),
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}'+\xi _{i}+y_{1}'\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148f0408078d5c3b66ea5f2921d67fbedcb6fd93)
conserve la même forme avec les variables nouvelles, sauf
qu’elle ne sera plus périodique par rapport à ![{\displaystyle y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77980ab892b099a782ffcffee3c0a7addf130dde)
Les nouvelles équations canoniques admettront comme relations invariantes
![{\displaystyle x_{1}'=x_{i}'=y_{1}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aac36867e6b23392bca8ad1e914c865adc6c2d)
ce qui prouve que pour
on a
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}'}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}'}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0730e77aeb1a6b0d712639a824da6f8a6132f7d2)
et que, de plus,
se réduit à une constante
je poserai alors
![{\displaystyle \mathrm {F} '=\mathrm {F} -\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8528477a4f3323d58d917219af25950606e4be3a)