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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

Nous trouvons d’abord, en faisant $\mu =0$ dans la première équation (40)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\eta _{0}}{dy_{k}}}=0,$

ce qui prouve d’abord que $\eta _{0}$ ne dépend pas de $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n},$ ce que nous pouvons écrire

$\eta _{0}={\big [}\eta _{0}{\big ]},$

puisque $[\eta _{0}]$ désigne la valeur moyenne de $\eta _{0}$ considérée comme fonction périodique de $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$

Il vient ensuite, en faisant $\mu =0$ dans la troisième équation (40),

$-{\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\zeta _{0}}{dy_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}\cdot$

Dans le second membre $x_{1}$ et les $x_{i}$ doivent être respectivement remplacés par $\eta _{0}$ et $\xi _{i}^{0},$ et ces quantités doivent être des constantes telles que l’on ait

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&=-n_{1}^{0}=0,&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}&=-n_{i}^{0}.\end{aligned}}$

Nous regarderons les $n_{i}^{0}$ comme des données de la question de telle façon que ces équations détermineront les $\xi _{i}^{0}$ et

$\eta _{0}={\big [}\eta _{0}{\big ]}.$

Notre équation devient alors

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\zeta _{0}}{dy_{k}}}=0,$

d’où

$\zeta _{0}={\big [}\zeta _{0}{\big ]}.$

Comme $\eta _{0}$ est une constante absolue, et que ${\frac {d\zeta _{0}}{dy_{k}}}$ doit être nul, les équations (41) nous donneront

$\xi _{i}^{0}={\frac {d\theta _{0}}{dy_{i}}}\cdot$

Si, d’autre part, nous développons la constante du second membre de (42) suivant les puissances croissantes de $\mu$ et que