24
CHAPITRE IX.
126.L’existence des séries (8) étant ainsi démontrée, on peut
se proposer de les former sans passer par l’intermédiaire de
l’expression auxiliaire
Mais je veux auparavant montrer qu’il est possible de satisfaire
formellement aux équations (1) du numéro précédent par une
infinité d’autres séries de même forme que les séries (2).
1o La fonction
du numéro précédent est déterminée par
l’équation (4) à une constante près seulement, ou plutôt, puisque
les quantités
sont regardées comme des constantes,
à une fonction arbitraire près de
et
Si donc une fonction
satisfait à l’équation (4), il en sera de
même de la fonction
![{\displaystyle \mathrm {S} '=\mathrm {S} +\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8209765634cf53a4f5d1c5c40036c0eca8be63d)
étant une fonction de
et
développable suivant
les puissances croissantes de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Remplaçons alors les équations (8) par les suivantes
(8 bis)
|
|
|
Nous pourrons supposer que
est divisible par
on pourra
alors tirer des équations (8 bis) les
et les
sous la forme de
séries (2 bis) de même forme que les séries (2).
On aura
(2 bis)
|
|
|
les
et les
étant comme les
et les
des fonctions périodiques des ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
La comparaison des équations (8 bis) et des équations (8)
montre qu’on obtiendra les séries (2 bis) en partant des séries (2)
et en y changeant
en
2o Plus généralement, soient
![{\displaystyle \omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fbcf01077f8f7ea000c0d07a7613b6ac3f22a1)