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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
devenir infinis. Il n’en est rien parce que
s’annule en même
temps que
mais poussons l’approximation plus loin.
Nous trouverons pour définir
une équation analogue à (15)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{3}]}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}={\big [}\Phi {\big ]}+\mathrm {C} _{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16767185da99d01104dd153bb7e3c7976bc7d5c8)
va-t-il cette fois devenir infini ?
Nous pouvons, il est vrai, disposer de la constante
de façon
que
ne devienne pas infini pour l’une des valeurs de
qui
annulent
mais, en général,
ne s’annulera pas pour
l’autre valeur de
qui annule
donc
deviendra infini
quelle que soit la constante
Ainsi l’équation (26) ne représentera pas une courbe fermée
parce que le second membre deviendra infini.
Quand donc j’ai dit plus haut que la courbe
![{\displaystyle x_{1}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54165ff74d7bce544b1c1c4f62f72e09dc45e0b8)
est fermée, cette assertion ne pouvait avoir par elle-même aucun
sens puisque la série
est divergente.
Voici ce qu’elle signifiait :
Elle signifiait qu’on peut toujours trouver une fonction
de
et de
développable suivant les puissances de
et telle
que l’équation
![{\displaystyle x_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+\mu ^{\frac {1}{2}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}+\mu ^{\frac {p+1}{2}}\,\Phi _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d70d31b4782809f729bb2183830df76b7dc126)
soit celle d’une courbe fermée.
Un exemple simple fera mieux comprendre ce qui précède.
Soit la courbe
![{\displaystyle x={\sqrt {1-y^{2}+\mu \,y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32addea521c2818972d60ea913f5ff5b1e74bc)
C’est une ellipse. Développons le second membre suivant les
puissances de
et arrêtons le développement, par exemple, aux