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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
nos variables en fonctions de
quelconques d’entre elles, supposons
que l’on exprime
et les
en fonctions de
![{\displaystyle v_{1},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7449fa777d32335055ff832d61001560d412185)
Soit donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n}),\\x_{k}&=\zeta _{k}(v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db81722c74d05f43a227642f241e605470ca7c69)
On voit sans peine que les fonctions
et
sont périodiques de
période
par rapport à chacune des
variables dont elles dépendent.
Si nous regardons un instant
comme des constantes
et
et
comme les coordonnées d’un point dans un
plan, nous pourrons envisager les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}=\zeta _{1}(v_{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9c20b3dabc5caaa558d71bf7a28f8c9a83845a)
Quand nous ferons varier
le point
décrira une courbe
fermée puisque les fonctions
et
reprennent leurs valeurs primitives
quand
augmente de
Ainsi, si
sont considérées comme des constantes,
l’équation
![{\displaystyle x_{1}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54165ff74d7bce544b1c1c4f62f72e09dc45e0b8)
est celle d’une courbe fermée.
C’est là le résultat auquel je voulais parvenir ; mais il importe
d’en préciser la signification. Nous ne devons pas oublier, en
effet, que tous les théorèmes qui précèdent sont vrais,
mais seulement au point de vue du calcul formel.
Les fonctions
et
sont développables suivant les puissances
de
de sorte que nous pouvons écrire
(24)
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et toutes les fonctions
et
sont périodiques de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Les seconds membres des équations (24) sont des séries ordonnées
suivant les puissances de
mais qui, en général, ne sont