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CHAPITRE XIX.
et
(22)
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sont identiques pourvu que
satisfasse à l’équation aux dérivées
partielles
(23)
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et à la condition que ses dérivées soient périodiques par rapport
a
et aux
et que
soit définie comme au numéro précédent.
est développable suivant les puissances de
et s’écrit
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {V} _{1}+\mu \,\mathrm {V} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3f121d030c415776679b4399a47fb59fa2f3ce)
Chacune des fonctions
peut s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}=\beta _{i}^{1}v_{1}+\beta _{i}^{2}z_{2}+\ldots +\beta _{i}^{n}z_{n}+\mathrm {V} _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fd59fa3ccee397e968481a3ff0ebcdd1856475)
étant périodique et les
constantes
analogues aux constantes
du no 125 peuvent comme celles-ci être choisies arbitrairement.
On a de même
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464893d139f04e17345df569398cd784dc2a70cd)
et nous avons vu que
dépend encore des constantes arbitraires
que nous avons appelées plus haut ![{\displaystyle \alpha _{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47579a324eead8a1206a77059011d5667f4f1dbd)
Pour que les deux systèmes (21) et (22) soient identiques, il
faut, bien entendu, si l’on a donné aux constantes
des valeurs
déterminées, que l’on donne aux constantes
des valeurs correspondantes
et inversement.
À chaque fonction
correspond ainsi une fonction
et réciproquement.
Mais, dans les numéros précédents, nous avons imposé à nos
constantes
et par conséquent à
certaines conditions qui sont
les hypothèses (9) et (10). Si l’on veut y demeurer astreint, il
faut donc que les constantes
satisfassent de leur côté à certaines
conditions qu’il serait aisé de former. Je dirai seulement que les
doivent s’annuler avec
Les équations (21) et (22) nous permettant d’exprimer toutes