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CHAPITRE XIX.
dans le premier cas
augmente de
quand
augmente d’une
période, tandis que dans le second cas, c’est-à-dire dans le cas de
la libration,
reprend sa valeur primitive quand
augmente
d’une période.
Dans le cas particulier du no 199, non seulement
et
sont fonctions doublement périodiques de
mais il en est de
même de
quant à
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\int {\sqrt {\mathrm {C} _{2}-\cos y_{1}}}\,dy_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62798c28d366569e21e5f2a27e32bd486b627a5b)
il augmente d’une quantité constante quand
augmente d’une
période.
De même, dans le cas général,
![{\displaystyle {\sqrt {x_{1}'-\psi }}\quad {\bigg (}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3e18c0c2ebbd155050b23528b0f015f58b8e1e)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{1}}}{\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118f87831b249ff9930e2cd39dd7fa4514705ebc)
est une fonction périodique de
Cette fonction, de même que
dépend en outre de
qui joue un rôle analogue à celui du module
dans le cas des fonctions elliptiques.
Observons avant d’aller plus loin que la période de ces diverses
fonctions périodiques de
est proportionnelle à
Il résulte de là que, dans le cas de la libration,
et
sont des fonctions périodiques de
en outre
et
dépendent des
mais ce sont des fonctions périodiques de
période
de ces
variables.
Si donc nous exprimons les variables anciennes
et
en
fonctions des nouvelles
et
il est évident que les
les
et les
sont des fonctions périodiques des
il en est
donc de même de
qui est périodique de période
par rapport
aux
La période sera égale à
![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {dy_{1}}{\sqrt {x_{1}'-\psi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9717723b4364402c1114137704c8594f0808cda)
pour
et à
pour les
je poserai pour abréger la période
relative à
égale à
il est clair que
est une fonction