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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
qui ne devient pas infinie et
est de la
forme
![{\displaystyle a(m_{1}y_{1}+\ldots +m_{n}y_{n})+\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad704188b6a2d337fa964d68629c14af09d09f65)
étant un coefficient constant et
une série ordonnée suivant les
sinus et cosinus des multiples de ![{\displaystyle m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b6d6d5842d2e69f78fe7d20c78ba659f7d8db6)
étant ainsi entièrement déterminé, la quatrième équation (3)
s’écrit
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}=\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ad76cae95fb96a66589ff93b8a891d7a55b681)
elle prend une forme tout à fait analogue à celle de l’équation (11),
et se traite de la même manière. Et ainsi de suite.
J’ai dit plus haut que les hypothèses (9) et (10) ne restreignaient
pas la généralité.
Et en effet considérons une solution de notre équation fondamentale
et conforme à ces hypothèses (9) et (10) ; soit
cette
solution et soit
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}+\mu \,\mathrm {S} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea5d172b9f77684a1d7fe129494d1df3d8d821d)
Soit, d’autre part,
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70aa4fb9b3c19df343d27d5fef77016a69fbb1e)
et
![{\displaystyle \mathrm {S} _{p}=\alpha _{1}^{p}y_{1}+\alpha _{2}^{p}y_{2}+\ldots +\alpha _{n}^{p}y_{n}+{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e323a300078fe22fe3bffc5cec7f5ca3c5b86897)
fonction périodique.
Les
satisferont en vertu des hypothèses (9) et (10) à la condition
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}^{p}}{m_{1}}}={\frac {\alpha _{2}^{p}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {\alpha _{n}^{p}}{m_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdab620f3b2e37f1bb3bf3db6919949aca43259)
et seront d’ailleurs des fonctions des constantes d’intégration
et ![{\displaystyle \mathrm {C} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea499e4888587e1b9a6cdc67c7466beb6501cfae)
Comme les
sont des constantes arbitraires, je puis les remplacer
par des développements quelconques
![{\displaystyle x_{i}^{0}=\beta _{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\beta _{i}^{1}+\mu \,\beta _{i}^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03353d79c01eb92db0a9227d56c260ab6cb02e72)
les
étant de nouvelles constantes arbitraires.
Si dans
nous remplaçons les
par ces développements, puis
que nous ordonnions de nouveau par rapport aux puissances