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CHAPITRE XIX.
s’écrirait
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} (p_{1}n_{1}^{0}+\ldots +p_{n}n_{n}^{0})\sin(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27934f8f3a91d02506ef11a0bcdd12cbd274650c)
et s’annulerait en vertu de la relation (5).
Le second terme du premier membre ne dépend, au contraire,
que de
et est fonction seulement de
Tous
ces termes ne contiennent donc que des sinus ou des cosinus des
multiples de
![{\displaystyle m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b6d6d5842d2e69f78fe7d20c78ba659f7d8db6)
Introduisons une notation nouvelle :
Soit
une fonction quelconque dont les dérivées
soient des
fonctions périodiques de
on pourra la développer en une série
dont tous les termes seront d’une des formes suivantes
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\alpha _{i}y_{i},&\alpha \cos(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n}),\\&\alpha \,\sin(p_{1}y_{1}+\ldots +p_{n}y_{n}).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f5bf8bb136eb0d44a9d9fd3766f1ea42e432a)
Supprimons dans cette série tous les termes trigonométriques,
sauf ceux pour lesquels
![{\displaystyle {\frac {p_{1}}{m_{1}}}={\frac {p_{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {p_{n}}{m_{n}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c066bbf8ffd6f7d9fc34b95cfb10e9716a3189ed)
L’ensemble des termes restant pourra être désigné par
et
s’appeler la valeur moyenne de ![{\displaystyle \mathrm {U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009d740d6721bd1a18d18d1eb88d1545e8a53c0c)
On aura alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}\right]&={\frac {d\left[\mathrm {U} \right]}{dy_{i}}}\,;&{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\left[\mathrm {U} \right]}{dy_{i}}}&=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ce412f4c53db7180df02e2c7ae1eb5a9672be3)
et, si
est une fonction périodique quelconque,
![{\displaystyle \left[\left[\mathrm {V} \right]{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}\right]=\left[\mathrm {V} \right]\left[{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ebb655bf8b433fb9138185524968dc518494d5)
Il vient donc
(6)
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