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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
Si maintenant l’équation fondamentale s’écrit
(2)
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il est facile de la ramener à la forme (1). Posons en effet
(3)
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les
étant des entiers choisis de telle sorte que le déterminant
des coefficients des équations (3) soit égal à 1. Cela est toujours
possible, pourvu que
soient premiers entre eux,
ce qu’il est toujours permis de supposer.
L’équation aux dérivées partielles (2) devient alors
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},\,y_{1}'\right)=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68663212f8a766f8ffb4b27d60702c91d8093f91)
et elle est ainsi ramenée à la forme (1).
Tout ce que nous avons dit des équations de la forme (1) s’étend
donc aux équations de la forme (2).
Nous pouvons trouver des solutions de l’équation (2) qui seront
développables comme celles de (1), tantôt suivant les puissances
de
tantôt suivant celles de
Pour
se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569747320e6b90ec18cc6e58799d4ecb67e23cbc)
La solution complète de l’équation aux dérivées partielles (2)
doit contenir
constantes arbitraires. Nous pourrions prendre
comme constantes arbitraires
ou bien encore
en posant
![{\displaystyle n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c65883f455fdc42fdd068d04ae3f2f6ee26e88)
Mais il est plus commode d’introduire un nombre infini de constantes
arbitraires, parmi lesquelles il n’y en aura d’ailleurs que
qui soient distinctes. Ces constantes seront
![{\displaystyle n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad \mathrm {C} _{0},\quad \mathrm {C} _{1},\quad \mathrm {C} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {C} _{p},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edf752bde5a06bf45365ee9c8aaa5cdb772e8c6)