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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
sissant d’une manière quelconque, mais définitive, les
Nous
pourrions convenir, par exemple, de choisir les
de façon que
![{\displaystyle 0=\mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{2}=\dots =\mathrm {C} _{p}=\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051fa8d0899b6eefe28a3b869644b7e6a72e1dd6)
mais je préfère prendre tous les
nuls ; les constantes
ne sont pas nulles alors ; en général, elles dépendent,
ainsi que
de
![{\displaystyle x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc41c0e2ae794149f133caeb538726238d83634)
Cela posé, soit
![{\displaystyle \Sigma _{p}=\mathrm {S} _{0}+\mu \mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622fb558a4e9ee3e4c75b0010f4cc0c212f60628)
Posons
(7)
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|
Si nous changeons de variables, en prenant pour variables nouvelles
les
et les
au lieu des
et des
[les nouvelles
variables étant liées aux anciennes par les relations (7)], le théorème
du no 4 nous apprend que les équations resteront canoniques
et que nous aurons
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dw_{i}}},\qquad {\frac {dw_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\qquad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f4b92502fd5d16ff26605d33ef5dc0a5d26f91)
Voyons maintenant quelle sera la forme de
quand elle sera
exprimée en fonction des nouvelles variables
et
Par hypothèse,
la série
satisfait formellement à l’équation (4) ; cela revient
à dire que nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i},y_{i})=\mathrm {F} \left({\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mu \mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{2}+\dots +\mu ^{p}\mathrm {C} _{p}+\mu ^{p+1}\Phi _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7f40883ce874d3993a6b12172a3537df6d0bb2)
étant une fonction des
des
et de
susceptible d’être
développée suivant les puissances de
Quant aux quantités
nous avons vu que ce sont des fonctions des
Nous poserons
![{\displaystyle \nu _{i}^{p}=-{\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{i}^{0}}}-\mu \,{\frac {d\mathrm {C} _{1}}{dx_{i}^{0}}}-\mu ^{2}\,{\frac {d\mathrm {C} _{2}}{dx_{i}^{0}}}-\dots -\mu ^{p}\,{\frac {d\mathrm {C} _{p}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa88bd78facf881091e8201ff23e49c085a3ab3)
Alors, pour
se réduit à ![{\displaystyle n^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc94e09f89a917af4382d9492f9fc332be482a38)