330
CHAPITRE XIX.
En effet, supposons que cela soit vrai pour
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}'}{dy'}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}'}{dy'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d354e504c2e6c8c42d5752a104178cbbd7e9186)
je dis que cela sera vrai également pour ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75cdd78ac3d7e031cfec1d72a637eb78450e6742)
Considérons l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}''\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}'}{dy'}}=\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6181f7da23b0cdbbf2954eb62b85220acc111c59)
où
désigne la dérivée seconde de
est développé suivant les
puissances de
de
comme
est un zéro
simple pour ces diverses quantités, et que le développement de
commence par des termes du second degré,
sera un zéro
double pour ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
Ce sera un zéro simple pour
Ce sera donc un zéro simple pour
C.Q.F.D.
Nous trouvons ainsi
![{\displaystyle x'={\frac {d\mathrm {S} '}{dy'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b48cfa929d4f21a20f1c03ab4a8f28a46152db)
![{\displaystyle \mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}'+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}'+\mu \,\mathrm {S} _{2}'+\ldots ,\quad \mathrm {S} _{0}'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a3052067f0d27eb65002424782aaab6fa3c75b)
Nous en déduisons
(7)
|
|
|
représente la fonction
où l’argument
a été remplacé
par l’argument
Soient
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\alpha &=\alpha _{0}&{}+{}&\mu \,\alpha _{1}&{}+{}&\mu ^{2}\alpha _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\beta &=\beta _{0}&{}+{}&\mu \,\beta _{1}&{}+{}&\mu ^{2}\beta _{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a38432033f502c89fce227e8e7e44a7a3fe950)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df6f9e328f1bec1bb474e2706e1b0cc85832abb)