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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
Une fois
déterminé,, la quatrième équation (4) nous fera
connaître
la cinquième
et ainsi de suite.
La solution est entièrement satisfaisante dans le premier cas,
celui où
est toujours réel. Mais, dans le cas contraire, il importe
de faire attention à une chose.
Les valeurs de
pour lesquelles les diverses fonctions
passent du réel à l’imaginaire sont données par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} _{2}=\mathrm {F} _{1}\left(x_{1}^{0},y_{1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218baa24032f4bbfb746ce1c5edd79a278a7c843)
On pourrait croire alors que c’est pour ces mêmes valeurs que
passe du réel à l’imaginaire. Cela n’est pas exact ; les valeurs
pour lesquelles
passe du réel à l’imaginaire sont données par les
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &=\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\mathrm {C} _{3}\,\mu \,{\sqrt {\mu }}+\ldots ,&{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b7da1af97500e6857b8390f52dd8aa7cc012d7)
Elles sont à la vérité fort voisines des premières si
est très petit,
mais elles ne leur sont pas identiques.
Pour tourner cette difficulté, il y a plusieurs moyens. On peut,
par exemple, puisque
sont arbitraires, faire
ainsi que tous les autres
d’indice impair.
Nous calculerons ensuite successivement
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \mathrm {S} _{3},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7e57094cc3a5984653d4f74d075ba3cfb2a080)
et nous aurons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\,{\sqrt {\mu }}+{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}\,\mu +{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}\,\mu \,{\sqrt {\mu }}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d78379423b746fa5b30e0cba25f19e975d6c6fa)
Comme rien ne distingue
de
nous aurons encore une
solution en faisant
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}-{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\,{\sqrt {\mu }}+{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}\,\mu -{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}\,\mu \,{\sqrt {\mu }}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43867bbdb441483aff98e7be2649cb538ab6ff3c)
ces deux solutions sont ou toutes deux réelles ou imaginaires conjuguées.
Il en résulte que
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0},\quad \mathrm {S} _{2},\quad \mathrm {S} _{4},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9cf3cfa15b108cfff8510e2ea622a357793bca)
sont toujours réels.