320
CHAPITRE XIX.
Si l’on fait
le développement devient
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,{\sqrt {\mathrm {C} _{1}}}{\sqrt {\mu }}\,\varphi _{n}(y_{1}){\frac {1}{\mathrm {C} _{1}^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc93bc7458b08b2e0a78718a39b7f4dbb1024393)
et tous ses termes sont de même degré en
on voit d’ailleurs que
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}={\sqrt {\mu }}{\sqrt {\mathrm {C} _{1}-\cos y_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df135d2df411625365ef992e2d838d6bcc14fc96)
200.Passons maintenant à un cas un peu plus général et supposons
que
soit fonction seulement de
et de
périodique
en
L’équation aux dérivées partielles devient
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},y_{1}\right)=\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb4f79a1796f7fbb5c2c4143c91793c4e8637cf)
et elle doit être d’abord résolue par rapport à ![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
Supposons que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}\mu +\mathrm {F} _{2}\mu ^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86438e4103c73e0c449713e55a1c724033fe6f6)
et que
ne dépende que de ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}=x_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbf21c4df0171a2d526d79291957eb058d26a17)
Alors plusieurs cas peuvent se présenter.
Supposons que
qui est déjà développable suivant les puissances
de
soit aussi holomorphe en
ce qui d’ailleurs arrivera
dans toutes les applications.
Alors par les procédés des nos 30 et suivants, l’équation
(2)
|
|
|
pourra être résolue par rapport à ![{\displaystyle x_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e527040afa65b2598aae19b7174af6ce52c1dda6)
Pour
l’équation s’écrira
(3)
|
;
|
|
soit
une valeur satisfaisant à cette équation (3). Alors, si l’on
désigne par
la dérivée de
et si
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}'(x_{1}^{0})\gtrless 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2910c75344023952b253f347c2a4c468415bd5c)
on tirera de l’équation (2)
sous la forme d’une série ordonnée