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CHAPITRE XIX.

Posons, en effet,

$\mathrm {S} =x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots x_{n}^{0}y_{n}+\varphi (m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}),$

l’équation deviendra

$\mathrm {F} \left(x_{1}^{0}\!+\!m_{1}\varphi ',\,x_{2}^{0}\!+\!m_{2}\varphi ',\,\ldots ,\,x_{n}^{0}\!+\!m_{n}\varphi ',\,m_{1}y_{1}\!+\!m_{2}y_{2}\!+\!\ldots \!+\!m_{n}y_{n}\right)=\mathrm {C} .$

Résolvons cette équation par rapport à $\varphi ',$ il viendra

$\varphi '{}={}$fonction de ${\textstyle \sum }\,m_{i}y_{i},$ de $x_{1}^{0},\,x_{2}^{0},\,\ldots ,\,x_{n}^{0}$ et de $\mathrm {C} .$

On intégrera cette expression par rapport à ${\textstyle \sum }\,m_{i}y_{i}$ en regardant $\mathrm {C}$ et les $x_{k}^{0}$ comme des constantes, et l’on aura $\varphi$ et par conséquent $\mathrm {S}$ en fonction de ${\textstyle \sum }\,m_{i}y_{i},$ des $x_{k}^{0}$ et de $\mathrm {C} .$

Il est nécessaire d’entrer dans plus de détails et pour cela je vais considérer un cas particulier simple en faisant

${\begin{array}{c}m_{1}=1,\qquad m_{2}=m_{3}=\ldots =m_{n}=0,\\[0.75ex]\mathrm {F} =x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1},\end{array}}$

$\mu$ étant très petit.

Notre équation devient

$\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}\right)^{2}+\mu \cos y_{1}=\mathrm {C} ,$

d’où

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}={\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}.$

Plusieurs cas sont à considérer :

1^o On a

$\mathrm {C} >|\mu |.$

Dans ce cas le radical ${\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}$ est toujours réel et ne s’annule jamais. Il est susceptible de deux déterminations l’une positive pour toutes les valeurs de $y_{1},$ l’autre négative pour toutes les valeurs de $y_{1}.$ Prenons par exemple la première, elle sera développable suivant les cosinus des multiples de $y_{1}\,;$ de sorte qu’on aura

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}=x_{1}^{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos ny_{1}.$

Je mets en évidence le terme tout connu que j’appelle $x_{1}^{0}\,;$ il est