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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
que
ne dépend pas des ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
(5)
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On peut satisfaire à cette équation en faisant
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{0}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e2d36e312842f69d627dcbd610a5248eaecfc6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=x_{2}^{0},&&\ldots ,&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{n}}}&=x_{n}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089b46894ef5a933da942e68f6981dab0067a0b0)
les
étant des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement
puisque la constante
est elle-même arbitraire.
Nous poserons, comme dans les Chapitres qui précèdent,
![{\displaystyle n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2207f3641dcf6761ebfcbeb598aca1e8e29a087f)
En égalant ensuite les coefficients des puissances semblables de
dans les deux membres de l’équation (4), on obtient une série
d’équations qui permettent de déterminer par récurrence
, ![{\displaystyle \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c70874374019000ada94cfc5d8a558f89a75c5f)
Voici quelle est la forme de ces équations
(6)
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est un polynôme entier par rapport aux quantités
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{k}}{dy_{i}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,p-1;\;i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cd91add1ad4a7a7f446d6ef7ef547b93079829)
et les coefficients de ce polynôme sont des fonctions de
et de
périodiques, de période
par rapport aux ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Je dis qu’on pourra tirer la fonction
de cette équation (6)
et de telle sorte que
soient périodiques, de
période
par rapport aux
Supposons, en effet, que cela soit vrai pour les dérivées de
par rapport aux
Alors
sera une fonction périodique de
et je