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CHAPITRE XVIII.
où
sont développables suivant les sinus et le
cosinus des multiples des ![{\displaystyle \lambda _{i}t\,?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d01b311262213e3dd61102872253cd5b1619066)
Pour nous en rendre compte, nous allons employer une méthode
qui rappellera celle du no 45 et qui, quoique plus générale, sera
plus simple, parce que, dans ce no 45, j’avais introduit à dessein, en
supposant
une difficulté qui ne se présente pas dans le cas
général.
Supposons le problème résolu et substituons, à la place de
dans
le développement (2) ; après cette substitution,
sera développable
suivant les puissances de
d’abord parce que cette fonction
était déjà développable suivant les puissances de cette variable
avant la substitution et, ensuite, parce que la valeur de
donnée
par l’équation (2) est elle-même développée suivant les puissances
de
Nous aurons donc
![{\displaystyle f=\varphi _{0}+\mu \,\varphi _{1}+\mu ^{2}\varphi _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535585aa1eca3a8d86df892e0e649f52f348400f)
ne dépendra que de
de
et de
de
de
et de
et ainsi de suite.
L’équation (1) nous donnera alors, en égalant les coefficients des
diverses puissances de
(3)
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ce qui nous permettra de déterminer par récurrence les diverses
fonctions
![{\displaystyle x_{3},\,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f6d52716597111f3100b3c328ea74e0ee47573)
Les équations (3) sont de la forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}-\alpha x_{i}=\varphi _{i-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97d474823270acc13cb96947e47ca58241cc2a5)
Si
est développable suivant les sinus et cosinus des multiples
des
et s’écrit
![{\displaystyle \varphi _{i-1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos \left[(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})t+k\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006659a5f36ff5e4493caecd031518320d4ba222)