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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
C’est là une équation linéaire à second membre. Nous sommes
donc conduit à envisager l’équation sans second membre
![{\displaystyle h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}z}{dw^{2}}}++2h_{0}\,{\frac {d^{2}z}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+f'(x_{0})z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2c6e5054f405985d03ab220a684809f65f58d9)
Cette équation admet évidemment comme solution particulière
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=z_{1}={\frac {d\omega }{d\beta }},&z&=z_{2}={\frac {d\omega }{dw}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3729c86dda8c78f908902aef56c7a71cc78162)
Posons, comme au no 192,
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{1}}{dw}}+{\frac {dz_{1}}{dt}},&z_{2}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{2}}{dw}}+{\frac {dz_{2}}{dt}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c62d0c4551477745dd472b3f4dc188683ef308)
Le déterminant
sera une constante que j’appellerai
Observons en passant que j’ai écrit les équations comme
si
dépendaient à la fois de
et de
tandis que
ces fonctions ne dépendent en réalité que de
et que par conséquent
beaucoup des termes de ces équations sont nuls.
Soient alors
et
deux quantités définies par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\gamma z_{1}+\delta z_{2},\\h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\gamma z_{1}'+\delta z_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a0c9f52fc1cb47a67470b394eec7c7b8418132)
Posons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\\\delta '&=h_{0}\,{\frac {d\delta }{dw}}+{\frac {d\delta }{dt}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d174cec832e1606137f2fd708cba8411ede0a86f)
L’équation (8 bis) pourra alors être remplacée par les deux
suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma 'z_{1}+\delta 'z_{2}&=0,\\\gamma 'z_{1}'+\delta 'z_{2}'&=\Phi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b443cc9ca6891e06f8c78e9520a2f906ebc9bd77)
d’où
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\gamma '&=&{}-{}&\Phi \,z_{2},\\\delta '&=&&\Phi \,z_{1}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dad31ab1e95258ddfbac56f4abac22285924c30)
Ces équations pourront s’intégrer par le même procédé que les
équations analogues du no 192 et l’on ne rencontrera pas de diffi-