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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
4o L’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}-{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78f0e0349c0de8f676f3cc363a7ede9a3075cd0)
sera une différentielle exacte.
On aura évidemment
(3)
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c’est-à-dire que
ne dépendra que des constantes d’intégration ![{\displaystyle x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0431991b3251ca808bb14e43a221a94c47586d7e)
On se rappelle le théorème du no 4, qui pourrait d’ailleurs
s’énoncer ainsi.
Quand on fait un changement de variables, en passant d’un
système de variables conjuguées
à un autre système de
variables conjuguées
la condition pour que la forme canonique
ne soit pas altérée, c’est que l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'-{\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f7d6f2794d8ddd76d41bfc107f774f8d20c269)
soit une différentielle exacte.
Il en résulte que, si dans le cas qui nous occupe, nous prenons
pour variables nouvelles
et
les équations (1) conserveront
leur forme canonique et deviendront
(5)
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Il est évident :
1o Que
sera périodique par rapport aux
2o Que
ne dépendra que des
à cause de l’équation (3).
Les équations (5) satisfont donc aux conditions des nos 125 et 127
et il en résulte qu’on pourra y satisfaire formellement de la
manière suivante :
Les
et les
seront développables suivant les puissances de
sous la forme
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}'&=x_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}'&=y_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9374880537446c0181c69da79c7ab2d3dfa05892)
Les
et les
seront des fonctions de
constantes d’intégrations
et de
arguments
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680a79bac02a65a0831ba663ca9433a8cc90c21b)