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CHAPITRE XVIII.
une intégrale en faisant
![{\displaystyle x_{0}=\beta \xi +\gamma \eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2378a91d215327ac7880621365e9fc60e357586)
C’est la seule d’ailleurs qui soit périodique en
et en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Passons à l’équation
; si
était connu, on pourrait l’écrire
(8)
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Comment intégrerions-nous alors l’équation (8) ?
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi '&=h_{0}\,{\frac {d\xi }{dw}}+{\frac {d\xi }{dt}}=-{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt),\\[0.75ex]\eta '&=h_{0}\,{\frac {d\eta }{dw}}+{\frac {d\eta }{dt}}=+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h_{0}+2n)\sin(w+2nt).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06aec86f59273db59ec8f9ff3f5f41f0348a8b51)
Le déterminant
sera une constante que nous pourrons
toujours supposer égale à 1, puisque les rapports des coefficients
sont seuls déterminés et que l’on peut choisir arbitrairement ![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f1e0455adc35f58bae6e8ce49bcb393e1c2ea6)
Appliquons maintenant la méthode de la variation des constantes.
Si nous désignons par
et
non plus deux constantes,
mais deux fonctions de
et de
nous pourrons définir ces deux
fonctions par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=\beta \xi &+\gamma \eta ,\\[0.75ex]h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\beta \xi '+\gamma \eta '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d147d451a3115f2467098ee03e55e450fad360)
Si nous posons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta '&=h_{0}\,{\frac {d\beta }{dw}}+{\frac {d\beta }{dt}},\\[0.75ex]\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba9b297551684f5e1722cf2b1a39dd23fdfec12)
l’équation (8) pourra alors être remplacée par les deux suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\beta '\xi \,&{}+{}&\gamma '\eta \,&=0\\\beta '\xi '&{}+{}&\gamma '\eta '&=\Phi ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6883cbdf799db7034dfd563d370b3d657ff759b)