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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
à déterminer
et
et enfin l’équation
à déterminer
et
Pour écrire plus facilement nos équations, nous conviendrons,
comme dans le Chapitre XV, de représenter par
toute fonction
connue.
Alors
s’écrit
![{\displaystyle h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{0}}{dt^{2}}}+x_{0}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a8c2547325cbcee0bce62510b49fc1cad78bdd)
De même,
s’écrit (en se souvenant que
et
sont supposés
avoir été préalablement déterminés à l’aide de
)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2&h_{0}h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+x_{1}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1308e72dd4529b7f13431899712387c6afe0f0b2)
et, en général,
s’écrira
![{\displaystyle {\begin{aligned}2&h_{0}h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+x_{i}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7c8d95dc04458312a14396ec8c4bff01a9a14)
L’équation
est facile à intégrer ; elle se ramène en effet à
l’équation (1) du no 190 qui a fait l’objet du Chapitre précédent.
Nous aurons une intégrale en faisant
![{\displaystyle x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99838671956facef7d0f64a4ad2a4591cd086786)
les coefficients
étant les mêmes que dans le no 178 et
étant égal au nombre que nous avons appelé
dans le Chapitre XVII.
Nous en aurons une encore en faisant
![{\displaystyle x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c829870466593379cbbca047ccb9ba480fce0768)
Si donc nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),&\eta &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cfd9542d4cfad2def9efc33ed9e6005ee45b7d)
et si
et si
sont des constantes arbitraires, nous aurons encore