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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
n’en est pas ainsi : elle n’est qu’approchée, ainsi que nous l’avons
vu au Chapitre XVI, et, pour qu’elle soit suffisamment approchée,
Il faut que
que nous appelons ici
reste toujours très petit.
Si donc l’un des coefficients
était très grand,
ne resterait
pas très petit ; les termes négligés pourraient devenir assez grands
pour que la méthode d’approximation devînt illusoire.
On doit donc éviter qu’à aucun moment, dans la suite des
approximations, on ne voie apparaître dans le second membre
de (1) des termes dont l’argument
soit très peu différent
de
Considérons d’une manière plus générale l’équation
(5)
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où
et
sont des fonctions de
développables en séries
trigonométriques.
Soit
ou
un terme de
soit
ou
un terme de
Considérons l’équation sans second membre
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\,f(t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e591fdc8c67e2d5ce9c14481f5162b389a08b939)
Soient
et
deux solutions indépendantes de cette équation,
et
leurs dérivées par rapport à
on aura
![{\displaystyle x_{1}x_{2}'-x_{2}x_{1}'=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08e15cdec300f10e40c9e72d33e015cf941f600)
étant une constante que nous pourrons toujours supposer égale à 1.
La solution générale de l’équation à second membre sera alors
(6)
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D’après le no 188,
et
sont une somme de termes de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} {\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}\left(h+\gamma \right)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bd0914c74a828ce68da2bd4f3c45b606bfa042)
étant une constante, qui est la même pour tous les termes, et ![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)